Un bateau se dirigeant vers le nord traverse une large rivière à une vitesse de 10 km/h par rapport à l'eau et a 5 km/h plein est, quelle est la vitesse par rapport à un observateur au sol stationnaire ?

La vitesse du bateau par rapport à l'observateur au sol stationnaire peut être trouvée en utilisant l'addition vectorielle. On peut représenter la vitesse du bateau par rapport à l'eau comme un vecteur \(\overrightarrow{v_b}\) de magnitude 10 km/h sous un angle de 0° (puisque le bateau se dirige vers le nord). La vitesse de l'eau par rapport au sol peut être représentée par un vecteur \(\overrightarrow{v_w}\) de magnitude 5 km/h sous un angle de 90° (puisque l'eau coule vers l'est).

Pour trouver la vitesse du bateau par rapport au sol, on additionne les deux vecteurs :

$$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_w}$$

En utilisant la loi des cosinus, nous pouvons trouver la norme du vecteur résultant :

$$v =\sqrt{v_b^2 + v_w^2 + 2v_bv_w\cos\theta}$$

où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs. En substituant les valeurs données, nous obtenons :

$$v =\sqrt{10^2 + 5^2 + 2(10)(5)\cos90°}$$

$$v =\sqrt{100 + 25 + 0}$$

$$v =\sqrt{125}$$

$$v =11,18 \text{ km/h}$$

Pour trouver l’angle du vecteur résultant, on peut utiliser la loi des sinus :

$$\sin\theta =\frac{v_w\sin\theta}{v}$$

En substituant les valeurs données, nous obtenons :

$$\sin\theta =\frac{5\sin90°}{11.18}$$

$$\sin\theta =\frac{5}{11.18}$$

$$\theta =\sin^{-1}\left(\frac{5}{11.18}\right)$$

$$\thêta =26,57°$$

Par conséquent, la vitesse du bateau par rapport à l'observateur au sol stationnaire est de 11,18 km/h sous un angle de 26,57° nord-est.